Конев В.В.   Дифференцирование функций

| Разделы курса | Примеры | Калькулятор |      
 
| Пределы | Неопределенные интегралы | Определенные интегралы | Несобственные интегралы |
Средняя и мгновенная скорости изменения функции
        Существуют различные характеристики, позволяющие детально описывать поведение функции в окрестности заданной точки. Одной из таких характеристик является средняя скорость изменения функции    на промежутке  , которая представляет собой отношение изменения функции    к соответствующему изменению аргумента  :
 
 (1)  
Термины "изменение аргумента" и "изменение функции" порождают ассоциацию с неким динамическим процессом, в котором аргумент играет роль времени, а функция этого аргумента характеризует пройденный путь или скорость движения частицы. Перечень подобных толкований можно продолжить, подразумевая под изменением функции, например, изменение масса тела, заключенной в сфере малого радиуса, при смещении центра сферы из одной точки в другую и так далее. Поэтому математики отдают предпочтение нейтральным терминам, называя разность    приращением функции, а величину  ∆x  – приращением аргумента.

      Пусть, например,  . Тогда средняя скорость изменения функции     на промежутке [1, 3] равна
      Физическая интерпретация средней скорости изменения функции вполне очевидна. Если    описывает зависимость пройденного частицей пути от времени  x  ее движения, то    представляет собой среднюю скорость движения частицы за промежуток времени  ∆x.

      Мгновенная скорость изменения функции представляет собой среднюю скорость изменения функции на бесконечно малом промежутке  ∆x. Чем меньше  ∆x, тем ближе средняя скорость к мгновенной скорости. Термин “мгновенная скорость изменения функции” выражает суть обсуждаемого понятия, однако обычно мгновенную скорость называют производной функции    и обозначают символическим выражением  .
      Таким образом, производная функции    представляет собой предел отношения приращения функции    к приращению аргумента    при стремлении последнего к нулю:
   (2)  
(Выражение в левой части этого равенства читается как “дэ эф по дэ икс”.) Производная функции    обозначается также символом  , который читается как “эф штрих от икс”.

      Функция, имеющая конечную производную в некоторой точке, называется дифференцируемой в этой точке. Говорят, что функция дифференцируема на промежутке, если она дифференцируема в каждой точке этого промежутка.

      Производную функции можно найти численно, графически или вычислить с помощью алгебраических формул. Для численного нахождения    в точке  x  используется приближенная формула
   (3)  
Проиллюстрируем диапазон применимости этой формулы численными расчетами. Пусть, например,  . Результаты вычислений производной функции    в точке  x = 1  при различных значениях  ∆x  представлены в таблице 1.

Таблица 1.
∆x 1 0.1 0.01 0/001 0.000001
6 5.1 5.01 5.001 5.000001

      Очевидно, что последовательность значений    приближается к числу 5 по мере уменьшения  ∆x. Поэтому можно предположить, что точное значение    равно пяти. Именно таким и является точное значение.

      Для оценки    “на лету” достаточно выбрать одно малое значение  ∆x  и вычислить разностное отношение (3). Более точную оценку дает сбалансированное отношение
   (4)