Конев В.В.   Дифференцирование функций

| Разделы курса | Примеры | Калькулятор |      
 
| Пределы | Неопределенные интегралы | Определенные интегралы | Несобственные интегралы |
Формула Тейлора для многочленов
        Рассмотрим многочлен целой степени n:
Покажем, что коэффициенты этого многочлена можно представить в виде
где – производные k-го порядка от в точке . (Напомним, что – по определению.)

      Очевидно, что . Найдем производную к-го порядка от многочлена в точке . Заметим, что
В точке единственной отличной от нуля производной к-го порядка является производная от . При этом и, таким образом,

Эта формула называется формулой Тейлора для многочленов. При она принимает вид
и называется формулой Маклорена для многочленов.

      Если оценивать формулу Тейлора для многочленов с позиций ее непосредственного применения для решения практических задач, то результат не покажется особенно впечатляющим. С ее помощью можно, например, преобразовать многочлен целой степени от одного вида к другому. Однако главное значение этой формулы заключается в том, что она устанавливает взаимосвязь между коэффициентами многочлена и значениями его производных в точке .

Пример 1. Представить многочлен
в виде разложения по степеням x.

Решение. Согласно формуле Маклорена
Очевидно, что



Таким образом,
Чтобы проверить полученный результат, достаточно раскрыть скобки в исходном выражении и привести подобные члены:



Пример 2. Найти целую часть и остаток от деления многочлена на двучлен .

Решение. Представим многочлен в виде
Тогда
Учитывая, что
         ,
получаем: