Конев В.В.   Дифференцирование функций

| Разделы курса | Примеры | Калькулятор |      
 
| Пределы | Неопределенные интегралы | Определенные интегралы | Несобственные интегралы |
Точки экстремума
        Говорят, что функция    имеет локальный максимум в точке  , если
   (6)  
для всех значений  x  в некоторой окрестности точки  . При этом    называют точкой локального максимума функции  .
  Неравенство (6) означает, что функция    является возрастающей для значений  x, расположенных в непосредственной близости к точке локального максимума слева от нее; функция    является убывающей для значений  x, достаточно близких к этой точке и расположенных справа:
 
 (7)  
      Если неравенство (6) выполняется для всех x из области определения функции  , то    называется точкой абсолютного максимума функции  .
      Аналогично,    называется точкой локального минимума функции  , если
   (8)  
для всех  x  в некоторой окрестности точки  .
  Неравенство (8) означает, что функция    является убывающей для значений  x, лежащих слева в непосредственной близости к точке локального минимума и возрастающей – для значений  x, расположенных на близком расстоянии справа от этой точки:
 
 (9)  
      Функция    имеет абсолютный максимум в точке  , если неравенство (6) выполняется для всех  x  из области определения этой функции.
      Если неравенства в формулах (6) и (8) строгие, то    называется точкой строгого локального максимума или минимума соответственно.
      Точками экстремума функции    называются точки максимума или минимума этой функции.

      На рисунке 1 представлен фрагмент графика функции  , определенной в промежутке    и имеющей локальные экстремумы.


Рис. 1. Точки    и  b  являются точками локального максимума.
Точки    и    являются точками локального минимума.
Точка  b  является точкой абсолютного максимума.
Точка    является точкой абсолютного минимума.
      Отметим, что окрестность точки  a  включает в себя только точки, расположенные справа от  a, тогда как окрестность точки  b  содержит только точки, расположенные слева от  b.