Дифференциал функции

| Разделы курса | Примеры | Калькулятор |

| Пределы | Неопределенные интегралы | Определенные интегралы | Несобственные интегралы |

Дифференциал функции

Дифференцирование функций

Средняя и мгновенная скорости скорости изменения функции Геометрическая интерпретация производной функции Правила дифференцирования функций Производные степенной, показательной и логарифмической функций Производные тригонометрических функций Гиперболические функции и их свойства Дифференцирование гиперболических функций Дифференциал функции Геометрическая иллюстрация дифференциалов Свойства дифференциалов Теорема о непрерывности дифференцируемой функции Дифференцирование сложной функции Дифференцирование обратной функции Дифференцирование обратных тригонометрических функций Логарифмическое дифференцирование Дифференцирование параметрически заданных функций Дифференцирование неявно заданных функций Таблица производных элементарных функций Производные высших порядков Дифференциалы высших порядков Формула Лейбница

Основные теоремы

Возрастание и убывание функций Точки экстремума Теорема Ферма Теорема Ролля Теорема Лагранжа Теорема Коши Правило Лопиталя

Формула Тейлора

Формула Тейлора для многочленов Формула Тейлора для произвольных дифференцируемых функций Формула Тейлора в терминах дифференциалов Остаточный член в форме Коши Остаточный член в форме Лагранжа Основные разложения по формуле Тейлора

Под дифференциалом

независимого аргумента понимается приращение аргумента:

. Совсем иначе определяется дифференциал функции. Согласно определению предела, равенство

означает, что выражение под знаком предела можно представить в виде

где

– бесконечно малая функция более высокого порядка по сравнению с ∆x (при ∆x→0). Тогда приращение функции

описывается формулой

Слагаемое

представляет собой линейную (главную) часть приращения функции и называется дифференциалом функции, который обозначается символом

:

Следовательно, производную функции

можно представить в виде отношения дифференциалов

и

:

До сих пор запись такого вида рассматривалась нами как единый символ, обозначающий производную функции

. Теперь же это выражение можно интерпретировать как отношение двух дифференциалов: дифференциала функции к дифференциалу аргумента.