Теорема Ролля
Теорема. Пусть функция  дифференцируема в открытом промежутке  , на концах этого промежутка сохраняет непрерывность и принимает одинаковые значения:  . Тогда существует точка  , в которой производная функции равна нулю:  .
Рис. 3. Теорема Ролля устанавливает условия существования хотя бы одной точки c, в которой касательная к графику функции параллельна оси 0x. Таких точек может быть несколько.  в промежутке  , то  во всех точках этого промежутка. Иначе наибольшее значение M функции превышает ее наименьшее значение m в промежутке . Поскольку на концах этого промежутка функция принимает одинаковые значения, то по крайней мере одно из значений, M или m, достигается во внутренней точке c промежутка . Тогда по теореме Ферма .
Физическая интерпретация теоремы Ролля. Пусть функция описывает смещение частицы из начального положения  в зависимости от времени x ее движения по прямой. Тогда производная  представляет собой мгновенную скорость движения частицы в момент времени c. Возвращение частицы в исходное положение возможно только при ее остановке в некоторый момент и перемещении в обратном направлении.
|