Геометрическая интерпретация производной функции

| Разделы курса | Примеры | Калькулятор |

| Пределы | Неопределенные интегралы | Определенные интегралы | Несобственные интегралы |

Геометрическая интерпретация производной функции

Дифференцирование функций

Средняя и мгновенная скорости скорости изменения функции Геометрическая интерпретация производной функции Правила дифференцирования функций Производные степенной, показательной и логарифмической функций Производные тригонометрических функций Гиперболические функции и их свойства Дифференцирование гиперболических функций Дифференциал функции Геометрическая иллюстрация дифференциалов Свойства дифференциалов Теорема о непрерывности дифференцируемой функции Дифференцирование сложной функции Дифференцирование обратной функции Дифференцирование обратных тригонометрических функций Логарифмическое дифференцирование Дифференцирование параметрически заданных функций Дифференцирование неявно заданных функций Таблица производных элементарных функций Производные высших порядков Дифференциалы высших порядков Формула Лейбница

Основные теоремы

Возрастание и убывание функций Точки экстремума Теорема Ферма Теорема Ролля Теорема Лагранжа Теорема Коши Правило Лопиталя

Формула Тейлора

Формула Тейлора для многочленов Формула Тейлора для произвольных дифференцируемых функций Формула Тейлора в терминах дифференциалов Остаточный член в форме Коши Остаточный член в форме Лагранжа Основные разложения по формуле Тейлора

Обратимся к рисунку 1, на котором представлен фрагмент графика функции

.

Рис. 1. Секущая AB образует угол β с положительным направлением оси 0x. Касательная к графику функции проведена в точке A.

Угловой коэффициент секущей AB равен средней скорости изменения функции

на промежутке [x, x + ∆x]:

(5)

Предельным положением секущей AB при перемещении точки B к точке A по дуге кривой

является касательная к графику в точке A. Поэтому угловой коэффициент касательной равен пределу углового коэффициента секущей при ∆x → 0:

(6)

Рис. 2. Касательная является предельным положением секущей AB при перемещении точки B к точке A.

Таким образом, производная

в точке x равна тангенсу угла, образованного касательной к графику функции

в этой точке с положительным направлением оси 0x.