Правило Лопиталя

| Разделы курса | Примеры | Калькулятор |

| Пределы | Неопределенные интегралы | Определенные интегралы | Несобственные интегралы |

Правило Лопиталя

Дифференцирование функций

Средняя и мгновенная скорости скорости изменения функции Геометрическая интерпретация производной функции Правила дифференцирования функций Производные степенной, показательной и логарифмической функций Производные тригонометрических функций Гиперболические функции и их свойства Дифференцирование гиперболических функций Дифференциал функции Геометрическая иллюстрация дифференциалов Свойства дифференциалов Теорема о непрерывности дифференцируемой функции Дифференцирование сложной функции Дифференцирование обратной функции Дифференцирование обратных тригонометрических функций Логарифмическое дифференцирование Дифференцирование параметрически заданных функций Дифференцирование неявно заданных функций Таблица производных элементарных функций Производные высших порядков Дифференциалы высших порядков Формула Лейбница

Основные теоремы

Возрастание и убывание функций Точки экстремума Теорема Ферма Теорема Ролля Теорема Лагранжа Теорема Коши Правило Лопиталя

Формула Тейлора

Формула Тейлора для многочленов Формула Тейлора для произвольных дифференцируемых функций Формула Тейлора в терминах дифференциалов Остаточный член в форме Коши Остаточный член в форме Лагранжа Основные разложения по формуле Тейлора

Теорема 1.. Пусть функции

и

определены и дифференцируемы в промежутке

;

для всех

;

и

; существует конечный или бесконечный предел

Тогда

(1)

Доказательство. Доопределим функции

и

в точке x = a, руководствуясь соображениями непрерывности:

Так как

, то по теореме Коши

где

.
Поскольку существует

который равен

то существует и предел

, причем

Теорема 2.. Пусть функции

и

определены и дифференцируемы в промежутке

;

для всех

;

и

; существует конечный или бесконечный предел

Тогда

(2)

Доказательство. Функции

и

являются бесконечно малыми при

. Тогда по теореме 1

Следовательно,