Теорема Ферма
Теорема. Пусть функция  определена в некотором промежутке; имеет локальный экстремум во внутренней точке  этого промежутка; дифференцируема в окрестности точки . Если – точка локального максимума, то при переходе через эту точку производная  меняет свой знак с плюса на минус:
– точка локального минимума, то при переходе через точку производная меняет свой знак с минуса на плюс:
дифференцируема в точке , то
является точкой локального максимума функции . Тогда эта функция является возрастающей для значений x, расположенных на малых расстояниях слева от точки и, следовательно,  при  .
Поскольку функция является убывающей для значений x, достаточно близких к точке и расположенных справа, то  при  . Таким образом, утверждение (10) доказано. Аналогичным образом устанавливается справедливость утверждения (11).
Теперь предположим, что функция дифференцируема в точке и  . Поскольку функция имеет экстремум в точке , то справа и слева от точки разность  принимает значения противоположных знаков. Если  , то функция возрастает в окрестности точки ; если  , то функция убывает в окрестности точки . В обоих случаях не является точкой экстремума и, таким образом, допущение приводит к противоречию с условиями теоремы.
Рис. 1. Касательная к графику функции  в точке экстремума параллельна оси 0x.
Рис. 2. Если функция принимает свое наибольшее (или наименьшее) значение не во внутренней точке промежутка, а на одном из его концов, то производная этой функции в точке экстремума не обязательно равна нулю. |
