Возрастание и убывание функций

| Разделы курса | Примеры | Калькулятор |

| Пределы | Неопределенные интегралы | Определенные интегралы | Несобственные интегралы |

Возрастание и убывание функций

Дифференцирование функций

Средняя и мгновенная скорости скорости изменения функции Геометрическая интерпретация производной функции Правила дифференцирования функций Производные степенной, показательной и логарифмической функций Производные тригонометрических функций Гиперболические функции и их свойства Дифференцирование гиперболических функций Дифференциал функции Геометрическая иллюстрация дифференциалов Свойства дифференциалов Теорема о непрерывности дифференцируемой функции Дифференцирование сложной функции Дифференцирование обратной функции Дифференцирование обратных тригонометрических функций Логарифмическое дифференцирование Дифференцирование параметрически заданных функций Дифференцирование неявно заданных функций Таблица производных элементарных функций Производные высших порядков Дифференциалы высших порядков Формула Лейбница

Основные теоремы

Возрастание и убывание функций Точки экстремума Теорема Ферма Теорема Ролля Теорема Лагранжа Теорема Коши Правило Лопиталя

Формула Тейлора

Формула Тейлора для многочленов Формула Тейлора для произвольных дифференцируемых функций Формула Тейлора в терминах дифференциалов Остаточный член в форме Коши Остаточный член в форме Лагранжа Основные разложения по формуле Тейлора

Функция

называется монотонной на интервале

, если ее приращение сохраняет свой знак на этом интервале.
Функция

называется неубывающей на интервале

, если условие

(1)

влечет за собой неравенство

(2)

Функция

называется возрастающей на интервале

, если

(3)

Другими словами, большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Аналогично вводятся понятия невозрастающей функции и убывающей функции.
Функция

называется невозрастающей на интервале

, если

(4)

Функция

называется убывающей на интервале

, если

(5)

(Большему значению аргумента соответствует меньшее значение убывающей функции).
Имеется тесная взаимосвязь между поведением функции

в некотором промежутке и знаком производной

в этом промежутке. Действительно, по определению производной,

Если

, то существует окрестность точки

, в которой разностное отношение под знаком предела остается положительным:

Тогда

и, следовательно, функция

является возрастающей в окрестности точки

.

Предположим теперь, что функция

является неубывающей в окрестности точки

. Тогда

Аналогично устанавливается, что условие

является необходимым и достаточным для того, чтобы функция

была невозрастающей в окрестности точки

.