Конев В.В.   Дифференцирование функций

| Разделы курса | Примеры | Калькулятор |      
 
| Пределы | Неопределенные интегралы | Определенные интегралы | Несобственные интегралы |
Теорема о непрерывности дифференцируемой функции
  Теорема. Если функция   дифференцируема в некоторой точке  a, то она непрерывна в этой точке.

Доказательство. По определению производной
Это предельное равенство означает, что выражение под знаком предела можно представить в виде
где  α(x)  – бесконечно малая функция при  x → a. Тогда
Следовательно,    при  x → a.

Заметим, что дифференцируемость функции в некоторой точке означает ее гладкость в окрестности этой точки, что влечет за собой непрерывность функции в рассматриваемой точке. Однако обратное утверждение несправедливо – функция, обладающая свойством непрерывности в некоторой точке, не обязательно дифференцируема в этой точке.

Рис. 8. Непрерывная в точке a функция    не является дифференцируемой в этой точке.