Формула Тейлора для произвольных дифференцируемых функций
Теорема 1. Если функция  имеет в точке  производные до n-го порядка включительно, то ее можно представить в виде
 (остаточный член разложения) и ее производные до n-го порядка включительно обращаются в нуль в точке  :
 при вытекает непосредственно из уравнения (1):
 . Заметим, что
   , что и требовалось доказать.
Формула (1) называется формулой Тейлора с остаточным членом , а ее частный случай при  – формулой Маклорена:
в точке влечет за собой ее непрерывность в некоторой окрестности этой точки, а обращение в нуль в точке остаточного члена и его производной (то есть быстроты изменения в окрестности точки ) означает, что принимает малые значения – по крайней мере - в непосредственной близости от точки . Следовательно, формула Тейлора может использоваться для аппроксимации функций многочленами. При этом остаточный член рассматривается как погрешность аппроксимации и отбрасывается:
Пример 3. Найти линейную аппроксимацию функции  в окрестности нулевой точки.
Решение. Учитывая, что  , и подставляя в формулу (1) эти значения, получаем
 отличие приближенного значения от точного результата составляет менее 4.5%. С уменьшением абсолютной величины x точность вычислений существенно возрастает. Так, при  ошибка вычисления становится примерно равной 2.65%.
Вычитая из обеих частей последнего равенства единицу и переходя к пределу  , получаем соотношение
 и x при .
Пример 4. Найти квадратичную аппроксимацию функции  в окрестности нулевой точки.
Решение. Очевидно, что 
 при малых (по абсолютной величине) значениях x – по сравнению с соотношением
 и x при .
Отметим, в частности, что формула (2) при  дает для  число 0.18, тогда как точным значением является 0.18232…
|
