Конев В.В.   Неопределенные интегралы

| Разделы курса | Примеры | Калькулятор |
 
| Пределы | Дифференцирование | Определенные интегралы | Несобственные интегралы |
Задачи, приводящие к понятию первообразной
 
    Пусть над переменной  x  выполнена некоторая математическая операция, например, операция возведения в третью стеень. Для возврата к исходному состоянию достаточно выполнить обратное преобразование – применить к полученному результату операцию извлечения корня третьей степени:

    Порядок операций можно изменить: сначала извлечь корень третьей степени, а затем возвести полученный результат в третью стеень:

    Этот пример иллюстрирует принципиально важное обстоятельство: сопоставление каждой математической операции обратного преобразования, что позволяет решать обратную задачу.

    Дифференцирование и интегрирование функции являются взаимно обратными операциями. Одна из этих операций "отменяет" другую.
        Пусть при движении частицы вдоль оси 0x зависимость x-координаты от времени t описывается уравнением
  ,  (1)  
согласно которому в начальный момент времени  t = 0  частица находилась в точке с координатой

      Скорость движения частицы равна производной от координаты по времени и, следовательно,
   (2)  
      Полагая  t = 0, находим начальную скорость движения частицы:
   (3)  
      Дифференцируя по времени скорость движения частицы, получаем ее ускорение:
   (4)  
      Таким образом, уравнение (1) позволяет найти все характеристики движения частицы.

      Рассмотрим теперь обратную задачу, когда по заданной зависимости скорости движения частицы от времени нужно определить положение частицы в произвольный момент времени. Заметим, что уравнение (2) не содержит информации о положении частицы в начальный момент времени. Такие сведения оказались утерянными в результате дифференцирования уравнения движения (1). Следовательно, для однозначного решения обратной задачи, а именно – восстановления функции по известной ее производной – необходимо дополнительно задать начальное условие . В противном случае общее решение такой задачи должно содержать неопределенную постоянную величину:
   (5)  
      Аналогично, для нахождения закона изменения скорости движения частицы по известному ускорению требуется задание начального условия (3). При отсутствии такого условия скорость движения определяется только с точностью до произвольной константы:
   (6)  
      Операция нахождения функции по заданной производной этой функции называется интегрированием функции .
      Функция общего вида , полученная в результате интегрирования, называется неопределенным интегралом, а любое частное решение такого рода задачи – первообразной исходной функции.
      В этих терминах задача нахождения функции по известной ее производной является стандартной проблемой интегрирования функции . При этом решение вида (5) представляет собой неопределенный интеграл от функции , тогда как решение вида (1) есть первообразная функции .