Производные степенной, показательной и логарифмической функций

| Разделы курса | Примеры | Калькулятор |

| Пределы | Неопределенные интегралы | Определенные интегралы | Несобственные интегралы |

Производные степенной, показательной и логарифмической функций

Дифференцирование функций

Средняя и мгновенная скорости скорости изменения функции Геометрическая интерпретация производной функции Правила дифференцирования функций Производные степенной, показательной и логарифмической функций Производные тригонометрических функций Гиперболические функции и их свойства Дифференцирование гиперболических функций Дифференциал функции Геометрическая иллюстрация дифференциалов Свойства дифференциалов Теорема о непрерывности дифференцируемой функции Дифференцирование сложной функции Дифференцирование обратной функции Дифференцирование обратных тригонометрических функций Логарифмическое дифференцирование Дифференцирование параметрически заданных функций Дифференцирование неявно заданных функций Таблица производных элементарных функций Производные высших порядков Дифференциалы высших порядков Формула Лейбница

Основные теоремы

Возрастание и убывание функций Точки экстремума Теорема Ферма Теорема Ролля Теорема Лагранжа Теорема Коши Правило Лопиталя

Формула Тейлора

Формула Тейлора для многочленов Формула Тейлора для произвольных дифференцируемых функций Формула Тейлора в терминах дифференциалов Остаточный член в форме Коши Остаточный член в форме Лагранжа Основные разложения по формуле Тейлора

Пусть n – произвольное вещественное число. Тогда

Используя соотношение эквивалентности

получим, что

Пусть

и

. Тогда

Используя соотношение эквивалентности

получим правило дифференцирования показательной функции:

Эта формула принимает особенно простой вид, если основанием является число e:

Функция

является уникальной, ибо это единственная функция, производная от которой совпадает с самой функцией.

Покажем, что для любого x > 0 выполняется следующее правило дифференцирования логарифмической функции:

Действительно, приращение этой функции можно представить в виде

Если ∆x → 0, то бесконечно малая в правой части этого равенства удовлетворяет соотношению эквивалентности

и, следовательно,