Теорема Ролля (примеры)

| Разделы курса | Примеры | Калькулятор |

| Пределы | Неопределенные интегралы | Определенные интегралы | Несобственные интегралы |

Теорема Ролля (примеры)

Дифференцирование функций одной переменной: Примеры

Средняя и мгновенная скорости изменения функции Производные степенной, показательной и логарифмической функций Гиперболические функции и их свойства Дифференциал функции Свойства дифференциалов Дифференцирование сложной функции Логарифмическое дифференцирование Производные высших порядков Дифференциалы высших порядков Теорема Ролля Теорема Лагранжа

Опровергнуть теорему Ролля, основываясь на примере функции , заданной в промежутке [-2,2].

Решение. Функция не имеет производной в точке x = 0. Следовательно, условия теоремы Ролля не выполняются. Теорема Ролля устояла.

***

Показать, что функция    удовлетворяет условиям теоремы Ролля в промежутке [0,1] и найти точку c, в которой .
Решение. Функция    дифференцируема в промежутке [0,1] и принимает на его концах одинаковые значения:

Тогда по теореме Ролля существует такая точка , в которой    обращается в нуль:

Рис. 4. Функция    удовлетворяет условиям теоремы Ролля в промежутке [0,1]. Производная этой функции обращается в нуль при x = 1/2.

***

Функция принимает одинаковые значения на концах промежутка [0,2]. Однако она не является дифференцируемой во всех внутренних точках этого промежутка. Поэтому нет оснований полагать, что существует точка , в которой .

Рис. 5. Теорема Ролля не выполняется для функции , поскольку эта функция не удовлетворяет условиям теоремы в промежутке [0,2].

***

Функция принимает одинаковые значения на концах промежутка :

Почему для этой функции не выполняется теорема Ролля?

Показать, что между двумя нулями дифференцируемой функции существует, по крайней мере, один нуль производной этой функции.