Второй замечательный предел

| Разделы курса | Примеры | Калькулятор |

| Дифференцирование | Неопределенные интегралы | Определенные интегралы | Несобственные интегралы |

Второй замечательный предел

Предел последовательности

Понятие числовой последовательности Ограниченные последовательности Бесконечно малые последовательности Свойства бесконечно малых последовательностей Предел последовательности Свойства пределов последовательностей Бесконечно большие последовательности Теоремы о монотонных последовательностях Число e

Предел функции

Бесконечно малые функции Свойства бесконечно малых функций Предел функции Свойства пределов функций Сравнение бесконечно малых функций Сравнение бесконечно больших функций Первый замечательный предел Второй замечательный предел Другие важные пределы: Теорема 3 Другие важные пределы: Теорема 4 Другие важные пределы: Теорема 5 Различные виды неопределенностей Таблица эквивалентных бесконечно малых

Приближенные вычисления

Вычисление тригонометрических функций Вычисление логарифмов

Непрерывность функций

Односторонние пределы Точки разрыва Свойства непрерывных функций

Теорема 2:

Выбирая

за новую переменную, получим другую форму теоремы 2:

Отметим, что при x → 0 функция

представляет собой неопределенное выражение вида

. При этом показателем степени является обратная величина бесконечно малой добавки к единице в основании степени.

Если

– бесконечно малая функция при x → a, то

В частности,

Обсудим процедуру вычисления пределов вида

где

и

при x → a.

Сначала представим функцию в виде суммы единицы и бесконечно малой величины :
Затем преобразуем показатель степени :
Учитывая, что при x → a, получим следующий результат:

Таким образом, проблема раскрытия неопределенности вида

сводится к более простой проблеме раскрытия неопределенности вида

.
Проиллюстрируем вышеизложенное простейшим примером:

Еще один способ вычисления пределов вида

где

и

– бесконечно малые функции при x → a, основывается на использовании тождества

При этом