Конев В.В.   Пределы последовательностей и функций

      Последовательность    называется ограниченной сверху, если существует такое число U, что    для любых номеров  n. При этом число U называется верхней границей последовательности.

      Последовательность    называется ограниченной снизу, если существует такое число  L, что    для любых номеров  n. Число  L  называется нижней границей последовательности.

      Последовательность    называется ограниченной, если существуют такие числа  L  и  U, что    для всех  n = 1,2,3,…

Теорема 1. Любая ограниченная сверху последовательность имеет наименьшую верхнюю границу.
Теорема 2. Любая ограниченная снизу последовательность имеет наибольшую нижнюю границу.

Рис. 3. Наименьшая верхняя и наибольшая нижняя границы последовательности показаны горизонтальными линиями, расположенными вверху и внизу соответственно.