Бесконечно малые функции
Функция  называется бесконечно малой при  , если ее значения по абсолютной величине становятся и остаются меньше любого наперед заданного положительного числа ε.
Приведенное определение полезно для формирования начального представления. В строгой математической формулировке все утверждения должны быть выражены в виде конкретных количественных соотношений. Например, фраза "значения функции становятся и остаются по абсолютной величине меньше любого наперед заданного числа" на математическом языке означает:  вне зависимости от того, насколько малым выбрано число ε > 0. Задавая ε, мы определяем допустимое отклонение функции от нуля. Другими словами, мы готовы считать функцию как бы равной нулю, если ее значения по абсолютной величине не превосходят ε.
Граничные значения –ε и ε определяют соответствующий интервал  значений независимой переменной x в окрестности предельной точки a. Если перейти к симметричной δ-окрестности точки a, определяемой условием
 , то неравенство  влечет за собой неравенство
Рис. 1. Для всех значений переменной x в интервале  соответствующие значения функции отличаются от нуля не более чем на ε.
Таким образом, функция называется бесконечно малой при , если для любого произвольно малого числа ε > 0 существует такое число δ(ε), что для всех x, удовлетворяющих условию (1), выполняется неравенство (3). Это утверждение записывается с помощью выражения
|
