Конев В.В.   Пределы последовательностей и функций

| Разделы курса | Примеры | Калькулятор |
 
| Дифференцирование | Неопределенные интегралы | Определенные интегралы | Несобственные интегралы |
Свойства бесконечно малых функций
  Свойство 1. Произведение бесконечно малой функции    при   и функции  , ограниченной в некоторой  -окрестности точки  a, есть функция бесконечно малая.

Доказательство. Функция    является ограниченной в некоторой окрестности точки  a  и, следовательно, существует такое число  B > 0, что
   (4)  
для всех  x, удовлетворяющих условию
   (5)  
      Поскольку функция    является бесконечно малой при  , то для любого произвольно малого числа  ε > 0 существует такое число  , что неравенство
   (6)  
выполняется для всех  x, удовлетворяющих условию
     (7)  
Выберем из чисел    и    наименьшее и обозначим его символом  δ. Тогда условие
   (8)  
является более сильным, чем условия (5) и (7) и поэтому влечет неравенства (4) и (6).

      Таким образом, для любого произвольно малого числа  ε > 0  выполняется неравенство
для всех  x  из  δ-окрестности точки  a.
Свойство 2. Сумма двух бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая.

Доказательство. Пусть  ε > 0  – произвольно малое число;    и    – бесконечно малые функции при  . Тогда существуют такие положительные числа    и  , что условия
   (9)  
и
   (10)  
влекут за собой соответствующие неравенства
и
      Если  , то условие    перекрывает оба условия (9) и (10) и, следовательно,
Следствие. Сумма любого конечного числа бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая.

      Действительно, объединяя элементы такой суммы в группы по два слагаемых и заменяя сумму двух бесконечно малых одной бесконечно малой, получим сумму меньшего числа членов. В конечном итоге сумма любого конечного числа бесконечно малых будет сведена к одной бесконечно малой.