Теоремы о монотонных последовательностях

Предел последовательности

Предел функции

Бесконечно малые функции Свойства бесконечно малых функций Предел функции Свойства пределов функций Сравнение бесконечно малых функций Сравнение бесконечно больших функций Первый замечательный предел Второй замечательный предел Другие важные пределы: Теорема 3 Другие важные пределы: Теорема 4 Другие важные пределы: Теорема 5 Различные виды неопределенностей Таблица эквивалентных бесконечно малых

Приближенные вычисления

Вычисление тригонометрических функций Вычисление логарифмов

Непрерывность функций

Односторонние пределы Точки разрыва Свойства непрерывных функций

Теорема 3. Всякая ограниченная сверху монотонно возрастающая последовательность имеет конечный предел.

Доказательство. Пусть A – наименьшая верхняя граница последовательности

. Это означает, что

	•	все члены этой последовательности удовлетворяют неравенству ;
	•	для любого произвольно малого числа ε > 0 разность A – ε не является верхней границей последовательности.

Следовательно, существует элемент

, превосходящий число A – ε:

Поскольку последовательность

является монотонно возрастающей, то

Таким образом, все члены последовательности

, начиная с

, удовлетворяют неравенству

что влечет за собой утверждение

Теорема 4. Всякая ограниченная снизу монотонно убывающая последовательность имеет конечный предел.

Доказательство этой теоремы по своей сути не отличается от доказательства предыдущей теоремы и предоставляется читателю.

Конев В.В. Пределы последовательностей и функций