Предел функции
Число A называется пределом функции  при  , если для любого произвольно малого числа ε > 0 существует такое число δ(ε), что для всех x, удовлетворяющих условию
при используется символическое выражение
Другими словами, функция имеет своим пределом число A при , если разность  представляет собой бесконечно малую функцию  Пусть, например,
 Тогда из тождества
Отметим, что для существования предела функции при не требуется, чтобы эта функция была определена в точке a. Например, функция  не определена в точке x = 3, однако ее предел при  существует и равен числу 6. Кроме того, определяющее значение для существования предела функции при имеет только поведение этой функции в достаточно малой окрестности точки a. Вне этой окрестности функция может быть неограниченной. Примером может служить функция f(x) = 1⁄x, предел которой при x → 1 равен 1, хотя эта функция является неограниченной на промежутке, включающем в себя точку 0.
Функция называется бесконечно большой при , если она неограниченно возрастает по абсолютной величине при . В таких случаях говорят, что стремится к бесконечности при и записывают это утверждение в виде
при выглядит следующим образом. Функция имеет своим пределом бесконечность при , если для любого сколь угодно большого числа E > 0 существует такое число δ(E), что для всех x, удовлетворяющих условию
 ,
По сути дела такому определению можно дать стандартное толкование: если для всех x из δ-окрестности точки a значения функции попадают в окрестность бесконечно удаленной точки, то при эта функции имеет своим пределом ∞.
Аналогичным образом формулируется понятие предела функции при  . Число A называется пределом функции при , если для любого произвольно малого числа ε > 0 существует такое число ∆(ε), что для всех x, удовлетворяющих условию
Функция имеет своим пределом бесконечность при , если для любого сколь угодно большого числа E > 0 существует такое число ∆(E), что для всех x, удовлетворяющих условию
Отметим, что следует соблюдать определенную осторожность при обращении с символом ∞. Порой решающее значение на результат оказывает знак бесконечности. Например, 
|
