Конев В.В.   Пределы последовательностей и функций

| Разделы курса | Примеры | Калькулятор |      
 
| Дифференцирование | Неопределенные интегралы | Определенные интегралы | Несобственные интегралы |
Сравнение бесконечно малых
        Пусть    и    – бесконечно малые функции при  . Предел отношения этих величин может принимать любые значения – в зависимости от быстроты убывания одной величины относительно другой. Для сопоставления скоростей убывания этих величин при стремлении  x  точке  a  можно использовать предел отношения
Если этот предел представляет собой конечное ненулевое число, то    и    называются бесконечно малыми одного и того же порядка.
      Особый интерес представляет частный случай, когда  λ = 1. Тогда говорят, что    и   являются эквивалентными бесконечно малыми при и записывают это утверждение в виде
      Если  λ = 0, то говорят, что    является бесконечно малой более высокого порядка по сравнению с    при   а функция    имеет меньший порядок малости.

      Термин “порядок малости” допускает уточнение, если    и    представляют собой бесконечно малые одного и того же порядка. В этом случае говорят, что    является бесконечно малой  n-го порядка по сравнению с  . Например, функция     является бесконечно малой 4-го порядка по сравнению с    при  x → 0.

      Если  λ = ∞, то бесконечно малые    и    как бы меняются своими ролями. В этом случае функция    является бесконечно малой более высокого порядка по сравнению с    при  .

      Сформулируем некоторые полезные свойства эквивалентных бесконечно малых.
  1. Если    и    – эквивалентные бесконечно малых при   то их разность есть бесконечно малая более высокого порядка.
    Действительно,
    Для записи такого утверждения используется выражение

  2. Бесконечно малые    и    являются эквивалентными, если    и    являются бесконечно малыми одного и того же порядка.


  3. Если    – бесконечно малая более высокого порядка по сравнению с    при    то