Конев В.В.   Пределы последовательностей и функций

| Разделы курса | Примеры | Калькулятор |      
 
| Дифференцирование | Неопределенные интегралы | Определенные интегралы | Несобственные интегралы |
Первый замечательный предел
  Теорема 1:
Другая формулировка теоремы 1:
Доказательство. Заметим, что отношение    представляет собой четную функцию. Поэтому при анализе поведения этой функции можно ограничиться областью малых положительных значений аргумента  x.
      Пусть  x  – центральный угол окружности единичного радиуса, выраженный в радианах. Сравним между собой площади фигур, показанных на рисунке 1.

Рис.1. Равнобедренный треугольник AOB, круговой сектор AOB и прямоугольный треугольник AOC.

      Очевидно, что для всех    выполняется неравенство
      Представим  tg x  в виде отношения  sin x  к  cos x  и разделим обе части этого двойного неравенства на  sin x. Тогда неравенство
влечет за собой
      Поскольку    при  x → 0, то и  .

      Графические иллюстрации теоремы 1 представлены на рисунках 2 и 3.

Рис. 2. Прямая  y = x  является касательной к графику функции    в точке  x = 0. Поэтому  sin x ≈ x  в окрестности нуля.

Рис. 3. График функции  .

      Теорема 1 допускает следующее очевидное обобщение: если   – бесконечно малая величина при  x → a, то



      В частности,