Конев В.В.   Пределы последовательностей и функций

| Разделы курса | Примеры | Калькулятор |      
 
| Дифференцирование | Неопределенные интегралы | Определенные интегралы | Несобственные интегралы |
Предел последовательности
        Понятие предела последовательности возникает на интуитивном уровне уже на самом раннем этапе изучения математики. В качестве примера обратимся к задаче о нахождении площади круга радиуса  r  с помощью геометрических построений.

      Пусть в окружность вписан треугольник или квадрат. Понятно, что площадь такой фигуры имеет мало общего с площадью круга. Если же увеличивать и увеличивать число сторон вписанного правильного многоугольника, то его контуры постепенно станут приобретать очертания окружности.

      Обозначим площадь вписанного многоугольника символом , где индекс  n  указывает число сторон многоугольника. Выражаясь формально, можно сказать, что представляет собой обший член монотонно возрастающей ограниченной последовательности площадей вписанных многоугольников. При неограниченном вохрастании  n элементы этой последовательности все точнее и точнее описывают площадь круга. Несколько забегая вперед, можно сказать, что последовательность имеет своим пределом площадь круга.

      Рассмотрим теперь последовательность , n-ый элемент которой равен площади описанного многоугольника, имеющего  n  сторон. В этом случае мы имеем дело с монотонно убывающей ограниченной последовательностью площадей описанных многоугольников, которая при неограниченном вохрастании  n  все точнее и точнее описывает площадь круга.



Рис. 10. Площадь круга есть предельное значение площадей вписанных и описанных многоугольников при увеличении числа сторон.

      Число  A  называется пределом последовательности  , если разность    является бесконечно малой величиной. Другими словами, число  A  является пределом последовательности  , если переменную    можно представить в виде   где    – некоторая бесконечно малая величина. Символически такое утверждение записывают в виде
Говорят также, что переменная    стремится к числу  A:

      Если  , то любая  ε-окрестность точки  A  содержит все точки  , начиная с некоторого номера. Вне этой окрестности может находиться разве что конечное число точек  .

Рис. 11. Последовательность    имеет своим пределом число  A.

      Последовательность, имеющая конечный предел, называется сходящейся. В противном случае последовательность называется расходящейся.

Рис. 12. Иллюстрация сходимости последовательности к числу  A.

      Примерами расходящихся последовательностей являются последовательности с общими членами    и , первая из которых стремится к  ∞ с ростом  n, а вторая – не имеет предела при  .