Первый замечательный предел (примеры)

| Разделы курса | Примеры | Калькулятор |

| Дифференцирование | Неопределенные интегралы | Определенные интегралы | Несобственные интегралы |

Первый замечательный предел (примеры)

Последовательности: Примеры

Числовые последовательности: основные понятия Ограниченные последовательности Бесконечно малые последовательности Свойства бесконечно малых последовательностей Предел последовательности Свойства пределов последовательностей Бесконечно большие последовательности Число e

Предел функции: Примеры

Бесконечно малые функции Свойства бесконечно малых функций Предел функции Свойства пределов функций Сравнение бесконечно малых Сравнение бесконечно больших Первый замечательный предел Второй замечательный предел Другие важные пределы: Теорема 3 Другие важные пределы: Теорема 4 Другие важные пределы: Теорема 5 Таблица эквивалентных бесконечно малых

Приближенные вычисления: Примеры

Вычисление тригонометрических функций

Непрерывность функций: Примеры

Точки разрыва Свойства непрерывных функций

Учитывая, что и при x → 0, получим

***

Докажем соотношение эквивалентности

Действительно,

***

Покажем, что

Другими словами,

Замена переменной влечет за собой и при x → 0. Тогда

***

Аналогичным образом показывается, что

***

Для вычисления предела отношения бесконечно малых функций и при x → 0 воспользуемся тригонометрическим тождеством

и заменим под знаком предела бесконечно малую функцию эквивалентной величиной :
Это равенство означает, что

***

Вычислить предел

Решение. Преобразуя знаменатель дроби под знаком предела, получим

***

Вычислить предел

Решение. Используя тригонометрическое тождество

получим

***

Вычислить

Решение. Поскольку и , то

***

Вычислить

Решение. Преобразуем выражение в числителе дроби:

Затем преобразуем знаменатель этой же дроби:

Таким образом,

***

Вычислить

Решение. Подстановка t = x – 1 влечет

Поскольку x → 1, то t → 0. Тогда и, следовательно,