Решение. Пусть ε – сколь угодно малое положительное число. Найдем множество значений переменной x, для которых выполняется неравенство .
Очевидно, что
Полагая , получим, что условие влечет за собой неравенство. Тем самым требуемое утверждение доказано.
***
Доказать на языке ε - δ, что
Решение. Нужно показать, что для любого сколь угодно малого числа ε > 0 существует такое число δ > 0, что для всех x из δ-окрестность точки x = 1, выполняется неравенство .
Действительно,
Обозначим Учитывая, что выберем
Тогда для всех x, удовлетворяющих неравенству
выполняется неравенство
В частности,
Рис. 2. Для любого сколь угодно малого числа ε > 0 выполняется неравенство для всех x из δ-окрестности точки x = 1. Следовательно,
при 
при 
при 
при 
при 
при 
при 
.
, получим, что условие 
влечет за собой неравенство
.
Учитывая, что 
выберем
