Точки разрыва (примеры)

| Разделы курса | Примеры | Калькулятор |

| Дифференцирование | Неопределенные интегралы | Определенные интегралы | Несобственные интегралы |

Точки разрыва (примеры)

Последовательности: Примеры

Числовые последовательности: основные понятия Ограниченные последовательности Бесконечно малые последовательности Свойства бесконечно малых последовательностей Предел последовательности Свойства пределов последовательностей Бесконечно большие последовательности Число e

Предел функции: Примеры

Бесконечно малые функции Свойства бесконечно малых функций Предел функции Свойства пределов функций Сравнение бесконечно малых Сравнение бесконечно больших Первый замечательный предел Второй замечательный предел Другие важные пределы: Теорема 3 Другие важные пределы: Теорема 4 Другие важные пределы: Теорема 5 Таблица эквивалентных бесконечно малых

Приближенные вычисления: Примеры

Вычисление тригонометрических функций

Непрерывность функций: Примеры

Точки разрыва Свойства непрерывных функций

Функция

определена на всей числовой оси за исключением точки x = 2, которая является точкой разрыва этой функции.

Найдем односторонние пределы в этой точке.
Если , то

Если , то

Функция претерпевает скачок на конечную величину и, следовательно, x = 2 является точкой разрыва первого рода.

Рис. 17. График функции в окрестности точки x = 2.

***

Непрерывность функции

нарушается в точке x = 5.
Эта точка является точкой разрыва второго рода, поскольку при x → 5.

***

Рассмотрим кусочно-заданную функцию

Поскольку функции    определены на всей числовой оси, то непрерывность функции    может нарушаться только в точках “сшивания” x = 0 и x = 1.
В точке x = 0 функция    непрерывна, поскольку односторонние пределы совпадают между собой и со значением функции в нуле:

Найдем односторонние пределы в точке x = 1:

Конечное значение скачка функции    означает, что x = 1 является точкой разрыва первого рода.

Рис. 18. График кусочно-заданной функции .