Конев В.В.   Пределы последовательностей и функций

| Разделы курса | Примеры | Калькулятор |      
 
| Дифференцирование | Неопределенные интегралы | Определенные интегралы | Несобственные интегралы |
Бесконечно малые последовательности (примеры)
  1. Последовательность с общим членом    является бесконечно малой, поскольку все ее члены, начиная с некоторого номера, становятся меньше любого положительного числа  ε.
    Действительно, неравенство    эквивалентно неравенству    и, следовательно, выполняется для всех    одновременно, если в качестве номера  N  выбрать любое целое число, которое больше, чем  . Полагая, например,  ε = 0.001, получаем, что    для всех  n > 1000.
    Бытовая интерпретация этого результата вполне очевидна: достаточно вообразить себе пирог, который мы пытаемся разделить сначала на 1000, затем на 1000000 и так далее гостей. При этом гости продолжают прибывать, так что вопрос: "Сколько же достанется каждому?" представляется вполне риторическим.

***
  1. Последовательность    является бесконечно малой при  . Действительно, каждый член этой последовательности меньше соответствующего члена бесконечно малой последовательности    и, следовательно, элементы    образуют бесконечно малую последовательность:



    Рис. 8. Бесконечно малая последовательность  .

***
Переменная    является бесконечно малой при  , поскольку для любого сколь угодно малого числа  ε > 0  неравенство    выполняется для всех номеров   

Рис. 9. Бесконечно малая последовательность  .