Сравнение бесконечно малых (примеры)

| Разделы курса | Примеры | Калькулятор |

| Дифференцирование | Неопределенные интегралы | Определенные интегралы | Несобственные интегралы |

Сравнение бесконечно малых (примеры)

Последовательности: Примеры

Числовые последовательности: основные понятия Ограниченные последовательности Бесконечно малые последовательности Свойства бесконечно малых последовательностей Предел последовательности Свойства пределов последовательностей Бесконечно большие последовательности Число e

Предел функции: Примеры

Бесконечно малые функции Свойства бесконечно малых функций Предел функции Свойства пределов функций Сравнение бесконечно малых Сравнение бесконечно больших Первый замечательный предел Второй замечательный предел Другие важные пределы: Теорема 3 Другие важные пределы: Теорема 4 Другие важные пределы: Теорема 5 Таблица эквивалентных бесконечно малых

Приближенные вычисления: Примеры

Вычисление тригонометрических функций

Непрерывность функций: Примеры

Точки разрыва Свойства непрерывных функций

Бесконечно малые и имеют один и тот же порядок малости при , поскольку предел их отношения равен конечному и отличному от нуля числу:

Очевидно, что функции и являются эквивалентными при .

***

Аналогично, функции

являются бесконечно малыми одного и того же порядка при x → ∞, поскольку

***

Бесконечно малые функции

являются эквивалентными при x → ∞, поскольку предел их отношения равен 1:

***

Предел отношения бесконечно малых функций и при x → 0 равен нулю:

Поэтому функция является бесконечно малой более высокого порядка по сравнению с функцией при x → 0.

***

Чтобы сравнить бесконечно малые функции    и    при x → 0, найдем предел их отношения:

Равенство этого предела нулю означает, что    имеет более высокий порядок малости по сравнению с    при x → 0. Однако

Следовательно, функция    является бесконечно малой 2-го порядка по сравнению с    при x → 0.