Бесконечно большие функции и имеют одинаковый порядок роста при x→∞, поскольку предел их отношения равен конечному ненулевому числу:
***
Если k< n, то любая функция вида есть пренебрежимо малая величина по сравнению с при x → ∞. Например,
***
Бесконечно большая функция эквивалентна x при x → ∞, поскольку (9x + 7) – пренебрежимо малая величина по сравнению с .
Аналогично, бесконечно большая функция эквивалентна x при x → ∞. Следовательно,
***
Рассмотрим предел
На первый взгляд представляется разумным заменить эквивалентной функцией 2x. Однако при таком подходе выражение под знаком предела обращается в нуль и, следовательно, (3x + 1) не является пренебрежимо малой величиной. Подобная ситуация характерна для разностей между эквивалентными бесконечно большими величинами и требует определенной аккуратности.
Преобразуем выражение под знаком предела, умножив и разделив его на сопряженное выражение:
Выражение в знаменателе этой дроби представляет собой сумму бесконечно больших функций и поэтому можно заменить эквивалентной величиной 2x, что влечет
***
Вычислить предел
Поскольку , то
***
Вычислить предел
Представим выражение под знаком предела в виде
Очевидно, что это выражение стремится к нулю при x → ∞.
и 
имеют одинаковый порядок роста при x→∞, поскольку предел их отношения равен конечному ненулевому числу:
есть пренебрежимо малая величина по сравнению с 
при x → ∞. Например,
эквивалентна x при x → ∞, поскольку (9x + 7) – пренебрежимо малая величина по сравнению с 
.
эквивалентна x при x → ∞. Следовательно,
эквивалентной функцией 2x. Однако при таком подходе выражение под знаком предела обращается в нуль и, следовательно, (3x + 1) не является пренебрежимо малой величиной. Подобная ситуация характерна для разностей между эквивалентными бесконечно большими величинами и требует определенной аккуратности.
, то
