Длина дуги кривой, заданной в полярных координатах

| Разделы курса | Примеры | Калькулятор |

| Пределы | Дифференцирование | Неопределенные интегралы | Несобственные интегралы |

Длина дуги кривой, заданной в полярных координатах

Определенные интегралы

Площадь плоской фигуры Движение частицы с переменной скоростью Понятие определенного интеграла Классы интегрируемых функций Свойства интегралов Формула Ньютона–Лейбница Интегрирование заменой переменной Интегрирование по частям Интегрирование четных и нечетных функций Интегрирование периодических функций Ортогональные функции

Геометрические приложения

Площадь плоской области Длины дуги кривой, заданной в явном виде Длины дуги кривой, заданной в параметрическом виде Длины дуги кривой, заданной в полярных координатах Объемы тел

Пусть кривая лежит в плоскости x0y и описывается уравнением r = r(φ) в полярных координатах. Представим выражение

в виде

.

(1)

Выразим декартовые координаты x и y через полярные координаты r и φ:

,

.

(2)

Продифференцируем эти выражения по переменной φ:

,

.

(3)

Нетрудно показать, что

(4)

Следовательно,

(5)