| |
Теорема. Если функция f(x) непрерывна на промежутке [a,b], то
| |
|
(1) |
|
где F(x) – первообразная функции f(x):
| |
|
(2) |
|
Формула (1) называется формулой Ньютона–Лейбница.
Доказательство. Сначала покажем, что функция
| |
|
(3) |
|
является первообразной функции f(x).
Согласно определению производной,
| |
|
(4) |
|
С учетом свойства 6,
| |
|
(5) |
|
Тогда
| |
|
(6) |
|
Применяя теорему о среднем к промежутку  , представим интеграл в числителе в виде
| |
|
(7) |
|
где  и  при  .
Следовательно,
| |
|
(8) |
|
Возвратимся к уравнению (3). Полагая x = a, находим значение постоянной C:
| |
|
(9) |
|
Полагая в этом же уравнении x = b, получаем:
| |
|
(10) |
|
Таким образом, для вычисления определенного интеграла от f(x) по промежутку [a,b] достаточно найти первообразную F(x) функции f(x), вычислить ее в точках a и b и вычесть F(a) из F(b).
|
