Конев В.В.   Определенные интегралы

| Разделы курса | Примеры | Калькулятор |      
 
| Пределы | Дифференцирование | Неопределенные интегралы | Несобственные интегралы |
Площадь плоской области
 
    Характеристики геометрических фигур (площади, длины и так далее) можно представить в виде суммы составных элементов. Например, площадь фигуры можно рассматривать как суумму площадей бесконечно малых прямоугольников, секторов или иных частей, составляющих целое. Процедура суммирования такого рода элементов и представляет собой интегрирование.
    Все, что для этого требуется, это формула для соответствующей характеристики, относящаяся к бесконечно малому элементу.

    Для вычисления площади  S  некоторой области нужно получить формулу для  dS.
    Длина дуги кривой  l  представляет собой сумму длин  dl  ее элементов.
    Объем фигуры  V  равен сумме объемов  dV  "ломтиков" с бесконечно малыми толщинами.

    И так далее.
 
  1. Пусть границы области заданы уравнениями линий в декартовой системе координат. Тогда для нахождения площади этой области нужно:
    • разбить фигуру на бесконечно малые прямоугольники, стороны которых параллельны координатным осям;
    • записать формулу для площади такого прямоугольника;
    • проинтегрировать полученное выражение по соответствующему промежутку.


    Рис. 1. Площадь области, ограниченной кривой  y = f(x)  и осью  0x  от  x = a  до  x = b.




    Рис. 2. Площадь области, ограниченной линиями  y = f(x)  и  y = g(x)  от  x = a  до  x = b.


  2. Если линия, ограничивающая область, задана уравнениями в параметрической форме,
    ,
    то площадь этой области описывается формулой

  3. Пусть область ограниченна графиком функции , заданной в полярной системе координат, и лучами и .


    Рис. 3. Область, ограниченная кривой и лучами и .

    Такую фигуру можно разбить на бесконечное число элементов, представляющих собой круговые секторы (см. рисунок 4).


    Рис. 4. Элемент разбиения фигуры, границы которой описываются ура

    Площадь кругового сектора равна половине произведения сторон на угол (выраженный в радианной мере) между ними. Стороны бесконечно узкого сектора совпадают друг с другом и равны расстоянию  r  от соответствующей точки кривой до начала координат. Следовательно,   и