Конев В.В.   Определенные интегралы

| Разделы курса | Примеры | Калькулятор |      
 
| Пределы | Дифференцирование | Неопределенные интегралы | Несобственные интегралы |
Длина дуги кривой, заданной в параметрическом виде
        Пусть пространственная кривая задана уравнениями в параметрической форме:
   (1)  
      Длина пространственного отрезка описывается формулой
   (2)  
      Преобразуем это выражение, умножив и поделив его на  dt:
   (3)  
      Затем разделим каждое слагаемое в числителе на знаменатель и представим результат в виде
 

 (4)  
где  x',  y' и  z' – производные функций  x(t),  y(t)  и  z(t)  по переменной  t.
      Тогда
   (5)  
      Полученная формула включает в себя формулу
   (6)  
в качестве частного случая. Действительно, если кривая лежит в плоскости  x0y, то рассматривая переменную  x  в качестве параметра  t, мы имеем  x = x,  y = y(x)  и  z = 0. Тогда формула (5) влечет за собой формулу (6).