Ортогональные функции

Определенные интегралы

Площадь плоской фигуры Движение частицы с переменной скоростью Понятие определенного интеграла Классы интегрируемых функций Свойства интегралов Формула Ньютона–Лейбница Интегрирование заменой переменной Интегрирование по частям Интегрирование четных и нечетных функций Интегрирование периодических функций Ортогональные функции

Геометрические приложения

Площадь плоской области Длины дуги кривой, заданной в явном виде Длины дуги кривой, заданной в параметрическом виде Длины дуги кривой, заданной в полярных координатах Объемы тел

Функции f(x) и g(x) называются ортогональными на промежутке [a,b], если

(1)

где

– функция, комплексно сопряженная f(x).

Если функции f(x) и g(x) являются вещественными, то условие их ортогональности на промежутке [a,b] имеет вид

(2)

Ортогональные функции имеют важное значение в теории рядов Фурье, в теории линейных операторов и в других разделах математики и квантовой физики.

Примеры ортогональных функций.

Пусть где i – мнимая единица; k и n – целые числа.

Ортогональность этих функций на промежутке [0,2π] при проверяется непосредственным интегрированием:

Учитывая периодичность функций

и

заключаем, что рассматриваемые функции ортогональны на любом промежутке длиной 2π.

Функции и являются ортогональными на любом промежутке длиной 2π (при ).
Действительно,

Свойством ортогональности на промежутке длиной 2π обладают пары функций

при , а также

при любых целых значениях k и n:

Конев В.В. Определенные интегралы