Конев В.В.   Определенные интегралы

| Разделы курса | Примеры | Калькулятор |      
 
| Пределы | Дифференцирование | Неопределенные интегралы | Несобственные интегралы |
Свойства интегралов
 
    Различные геометрические и физические величины можно представить в виде суммы бесконечно малых элементов, составляющих целое. Например, площадь плоской области можно разбить на сумму площадей бесконечно малых прямоугольников, а массу тела с переменной плотностью можно рассматривать как сумму масс элементов, в пределах каждого из которых плотность является постоянной.
    Процедура суммирования такого рода элементов и называется интегрированием. В примере с площадью фигуры фактически суммируются (интегрируются) высоты прямоугольников с одинаковыми основаниями, а в примере с массой тела суммируются плотности ячеек одинакового объема.
 
  1. Интеграл от единицы по промежутку [a,b] равен длине этого промежутка:
  2. Интеграл не зависит от символа, используемого для обозначения переменной интегрирования:
  3. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:
  4. Интеграл от алгебраической суммы интегрируемых функций равен алгебраической сумме интегралов:
  5. При перестановке местами пределов интегрирования интеграл меняет свой знак на противоположный:
  6. Если нижний и верхний пределы интегрирования совпадают между собой, то интеграл равен нулю:
  7. Если функция  f(x)  интегрируема на каждом из промежутков  [a,b],  [a,c]  и  [c,b], то
    Это свойство вполне очевидно, если (см. рисунок 1).

    Рис. 1. Свойство 6 (случай ).

    Однако оно остается справедливым и в том случае, когда – при условии, что существуют интегралы и :

    Рис. 2. Свойство 6 (случай ).

  8. Если функция  f(x)  является положительно определенной и интегрируемой на промежутке [a,b], то
  9. Пусть функции  f(x)  и  g(x)  интегрируемы на промежутке [a,b] и во всех точках этого промежутка. Тогда
  10. Если функция  f(x)  интегрируема на промежутке [a,b], то
  11. Пусть функция  f(x)  интегрируема на промежутке [a,b] и удовлетворяет неравенствам во всех точках этого промежутка. Тогда
    Выражение называется средним значением функции  f(x)  на промежутке [a,b]. Поэтому свойство 8 называют теоремой о среднем.


  12. Теорема о среднем для непрерывной функции. Пусть функция  f(x)  непрерывна и ограничена на промежутке [a,b]. Тогда на этом промежутке найдется такая "средняя" точка , что



    Рис. 3. Площадь под кривой  y = f(x)  на интервале [a,b] равна площади прямоугольника с основанием (b-a) и высотой .
    Для просмотра анимации в других цветах подведите курсор указателя мыши в область рисунка, расположенного справа.


  13. Обобщенная теорема о среднем. Пусть функции  f(x)  и  g(x)  интегрируемы на промежутке [a,b]. Если при этом функция  f(x)  является непрерывной, то на этом промежутке найдется такая "средняя" точка , что