Длина дуги кривой, заданной в явном виде

Определенные интегралы

Площадь плоской фигуры Движение частицы с переменной скоростью Понятие определенного интеграла Классы интегрируемых функций Свойства интегралов Формула Ньютона–Лейбница Интегрирование заменой переменной Интегрирование по частям Интегрирование четных и нечетных функций Интегрирование периодических функций Ортогональные функции

Геометрические приложения

Площадь плоской области Длины дуги кривой, заданной в явном виде Длины дуги кривой, заданной в параметрическом виде Длины дуги кривой, заданной в полярных координатах Объемы тел

Пусть кривая лежит в плоскости x0y и описывается уравнением y = f(x).
Для нахождения длины дуги этой кривой, заключенной между точками с абсциссами a и b, разобьем дугу на столь малые элементы, чтобы каждый из них можно было аппроксимируовать прямолинейным участком (см. рисунок 1).

Рис. 1. Аппроксимация элемента дуги кривой прямолинейным участком.

Длину dL бесконечно малого участка можно выразить через dx и dy с помощью теоремы Пифагора:

(1)

где y ' – производная функции y = f(x) по переменной x.

Длина дуги равна сумме длин составляющих ее элементов:

(2)

Конев В.В. Определенные интегралы