Конев В.В.  Скалярные и векторные поля

| Словарь | Калькулятор | Тесты | Задачи и упражнения |
| Скалярные и векторные поля. Градиент | Ротор. Типы полей. Системы координат |
Теорема Остроградского-Гаусса
      Теорема. Поток векторного поля  A  через замкнутую кусочно-гладкую поверхность  S  в направлении внешней нормали равен тройному интегралу от  div A  по области  V, ограниченной поверхностью  S :
Доказательство. Разобъем область  V  на малые элементы  ΔV  (как это показано на рисунке 1).

Рис. 1. Разбиение области  V, ограниченной поверхностью  S, на малые элементы  ΔVk , границами которых являются поверхности  ΔSk .
     Согласно определению дивергенции векторного поля, поток  ΔΦk  поля  A  через поверхность  ΔSk  малой области  ΔVk  можно представить в виде приближенного равенства
     Далее выполним суммирование по всем элементам области V и осуществим предельный переход, переходя к бесконечно малым элементам.
     Согласно свойствам потока векторного поля, сумма потоков из всех частей объема  V  равна потоку вектора  A  через внешнюю поверхность  S:
     Сумма произведений    по всем элементам разбиения области  V  представляет собой интегральную сумму от  div A  по этой области и, следовательно,
.
Таким образом,