Ортогональность векторных линий и поверхностей уровня
Пусть задано некоторое потенциальное поле  . Рассмотрим две близко расположенные поверхности уровня,
 и  ,
 отличаются друг от друга на малую величину.
При движении вдоль поверхности уровня поле остается постоянным, а чтобы максимально быстро перейти с одной поверхности уровня на другую, нужно двигаться в направлении нормали к поверхности. Это означает, что вектор нормали к поверхности уровня направлен в сторону наиболее быстрого изменения поля  и, следовательно, совпадает по направлению с вектором  .
Подобные интуитивные соображения могут быть положены в основу следующего математического утверждения.
Теорема. Векторные линии потенциального поля направлены перпендикулярно к поверхностям уровня 
Доказательство. Из уравнения поверхностей уровня следует равенство нулю дифференциала функции ,
и  .
Поскольку вектор является касательным вектором к поверхности уровня, то вектор ортогонален этой поверхности.
Рисунок 1 иллюстрирует ортогональность векторных линий потенциального поля и поверхностей уровня.
Рис. 1. Векторные линии поля (сплошные линии со стрелками) перпендикулярны к эквипотенциальным поверхностям скалярного поля .
|