Гидродинамическая интерпретация потока векторного поля
Рассмотрим физический смысл потока векторного поля на примере гидродинамической задачи о вычислении количества жидкости, протекающей через поверхность S в единицу времени.
Каждой точке заполненного жидкостью пространства можно поставить в соответствие вектор скорости υ частиц потока текущей жидкости.
Разложим вектор υ скорости движения жидкости вблизи площадки на две составляющие, одна из которых направлена вдоль поверхности dS, а другая – перпендикулярно к ней. За протекание жидкости через площадку ответственна только нормальная составляющая скорости υn = υ · n, где n – единичный вектор нормали к поверхности dS.
За время dt через площадку пройдет жидкость, отстоящая от нее на расстоянии υn dt и заполняющая объем υn dt dS .
Объем жидкости, протекающей через бесконечно малую проницаемую площадку dS за время dt, равен (с точностью до знака)
В единицу времени через поверхность dS проходит  единиц объема жидкости. Эта величина называется потоком вектора υ через элемент поверхности dS .
Для нахождения потока Φ вектора υ через поверхность конечных размеров нужно разбить эту поверхность на малые элементы и просуммировать потоки через все элементы. Результатом такого суммирования является интегральная сумма, которая переходит в соответствующий поверхностный интеграл при замене элементов конечных размеров бесконечно малыми элементами разбиения поверхности.
Таким образом, количество жидкости, протекающей через S в единицу времени равно потоку вектора υ через поверхность S, то есть поверхностному интегралу от проекции вектора υ на нормаль к поверхности:
 .
|