Конев В.В.   Несобственные интегралы

| Разделы курса | Примеры | Калькулятор |      
 
| Пределы | Дифференцирование | Неопределенные интегралы | Определенные интегралы |
Главное значение интеграла
 
    Требование существования двойного предела функции дыух переменных (при любом способе предельного перехода) порой представляются слишком обременительными. В реальных приложениях возникают ситуации, когда условия симметрии рассматриваемой задачи снимают столь ограничительные условия.
      В ситуациях подобного рода нужно либо модифицировать уже существующие понятия (например, определенного интеграла), либо расширять смысл таких понятий.
        Пусть интеграл    имеет единственную особенность во внутренней точке промежутка  [a,b]. Составим сумму
   (1)  
и выполним предельный переход, устремив к нулю и .

      Если существует двойной предел выражения (1), не зависящий от способа предельного перехода, то он называется несобственным интегралом от функции  f(x)  по промежутку  [a,b]:
   (2)  
      В этом случае
   (3)  
где  F(x)  – первообразная функции  f(x).

      Если предел (2) существует лишь при согласованном предельном переходе, а именно когда, то этот предел называется главным значением несобственного интеграла    и обозначается символическим выражением
   (4)  
      В таких случаях говорят, что интеграл    сходится в смысле главного значения.

      Обозначение “V.p.” введено Коши и представляет собой аббревиатуру, которая берет свое начало от слов “Valeur principale”, означающих по-французски “Главное значение”.

      Любой сходящийся несобственный интеграл существует и в смысле главного значения. Обратное утверждение является неверным.

      Отметим, что интегралы в смысле главного значения играют важную роль в различных приложениях. Например, интегральный логарифм определяется формулой
   (5)  
      Этот несобственный интеграл сходится при  . Если же  x > 1, то интеграл (5) понимается в смысле главного значения.