Конев В.В.   Несобственные интегралы

| Разделы курса | Примеры | Калькулятор |      
 
| Пределы | Дифференцирование | Неопределенные интегралы | Определенные интегралы |
Признаки сходимости Абеля и Дирихле
        Признак сходимости Дирихле. Пусть при  B > A  функция  f(x)  интегрируема на промежутке  [A,B]  и пусть функция  g(x)  монотонно стремится к нулю при  x → +∞. Если первообразная
ограничена при любом  x > A, то интеграл    сходится.

      Опуская доказательство признака сходимости Дирихле, обсудим простой поучительный пример. Рассмотрим интеграл
.
где  p > 0  и  A > 0.
      Пусть
      Очевидно, что интеграл от синуса есть ограниченная функция и  g(x) → 0  при  x → ∞. Однако функция  g(x)  стремится к нулю монотонно лишь в случае  p ≥ 1. Поэтому признак сходимости Дирихле гарантирует сходимость интеграла    для  p ≥ 1  и оставляет вопрос открытым для  0 < p < 1. Более детальное исследование показывает, что рассматриваемый интеграл сходится при  p > 1/2  и расходится при других значениях  p  (см. Пример 5). Отсутствие монотонности стремления к нулю функции решительно изменяет ситуацию со сходимосью интеграла.

Признак сходимости Абеля. Пусть интеграл    сходится. Если функция  g(x)  монотонна и ограничена сверху на промежутке  [A, ∞), то интеграл    сходится.

      Заметим, что признак сходимости Абеля является следствием признака сходимости Дирихле. Действительно, пусть функции  f(x)  и  g(x)  удовлетворяют условиям Абеля. Тогда для монотонной и ограниченной сверху функции  g(x)  существует конечный предел
      Представим произведение в виде суммы
      Интеграл от первого члена в правой части сходится по условию, тогда как для второго проидведения выполняются условия Дирихле, ибо
.
      Следовательно, интеграл    сходится.