Конев В.В.   Несобственные интегралы

| Разделы курса | Примеры | Калькулятор |      
 
| Пределы | Дифференцирование | Неопределенные интегралы | Определенные интегралы |
Вычисление несобственных интегралов
 
    Вычисление несобственных интегралов сводится к применению стандартных методов интегрирования. Только при этом добавляются два новых элемента:
    1)  исследование интегралов на сходимость;
    2)  выполнение предельных переходов.

    Кроме того, если несобственный интеграл    содержит несколько особых точек (точек "несобственности"), то его необходимо разбить на соответствующее число интегралов:
При этом интеграл    сходится в том и только в том случае, если сходится каждый из интегралов в правой части равенства (1).
       
  1.  Рассмотрим интеграл  . Представим его в виде суммы двух несобственных интегралов:
       (1)  
    Первый интеграл в правой части уравнения (1) имеет особенность в точке  x = 0. Сопоставим порядок бесконечно большой функции    с соответствующим поведением функции при  x → 0, вычислив предел отношения этих функций:
    Тогда при  x → 0  функция    представляет собой бесконечно большую более высокого порядка по сравнению с  . Поскольку интеграл сходится, то сходится и интеграл  .
    Второй член в правой части равенства (1) является несобственным интегралом первого рода, имеющим особенность в бесконечно удаленной точке  x = +∞. Сравним его со сходящимся интегралом от функции  . Учитывая выполнение неравенства    при  x → ∞, заключаем, что интеграл    сходится.
    Таким образом, сходимость интеграла    доказана.

    Преобразуем интеграл  , выполнив замену переменной   :
      .  (2)  
    Следовательно, интеграл (1) равен нулю.


  2. Для вычисления интеграла    применим подстановку
      .  (3)  
    Тогда
     

    		 (4)  
    Таким образом,
       (5)