Конев В.В.   Несобственные интегралы

| Разделы курса | Примеры | Калькулятор |      
 
| Пределы | Дифференцирование | Неопределенные интегралы | Определенные интегралы |
P–интегралы от неограниченных функций
        При исследования на сходимость интегралов от функций, неограниченных на промежутке интегрирования, в качестве эталонных интегралов используются  p-интегралы вида
   (1)  
   (2)  
      Очевидно, что интегралы (1) и (2) расходятся, если  p = 1. Тогда эти интегралы расходятся и при  p > 1, поскольку с увеличением  p  подынтегральные функции возрастают в окрестности особых точек  x = a  или  x = b  соответственно.

      Если  p < 1, то интегралы (1) и (2) сходятся, например,
   (3)  
      Таким образом,  p-интегралы (1) и (2) сходятся при  p < 1; расходятся при  p ≥ 1.

      Используя признак сравнения 2 и выбирая  p-интерграл (1) или (2) в качестве эталонного интерграла, можно сформулировать следующие критерии.
  1. Если при  x → a  функция  f(x)  является бесконечно большой порядка  p  по сравнению с  , то интерграл (1) при  p < 1  сходится, а при  p ≥ 1  - расходится.

  2. Если при  x → b  функция  f(x)  является бесконечно большой порядка  p  по сравнению с  , то интерграл (2) при  p < 1  сходится, а при  p ≥ 1  - расходится.
      Например, функция    при  x → 1  является бесконечно большой порядка  1/3  по сравнению с   :
.
      Следовательно, интеграл    сходится.

      Аналогично, интеграл    расходится, поскольку функция    является бесконечно большой третьего порядка по сравнению с    при  x → 1.