Пусть в трехмерном пространстве задана система координат  . Представим бесконечно малый вектор ds в виде разложения по декартовому базису векторов i, j, k и по базисному набору векторов  криволинейной системы координат :
Для того, чтобы величины  могли рассматриваться в качестве координат элемента в некоторой области пространства, необходимо существование обратного отображения
| |
|
(3) |
|
Выразим в уравнении (1) дифференциалы декартовых координат через дифференциалы криволинейных координат:
Тогда
Если система координат ортогональна, то в любой точке пространства векторы попарно ортогональны:
где  - норма вектора  (длина вектора);  - дельта-символ Кронекера, определяемый формулой
Норму вектора называют также коэффициентом Ламе  для координаты  в точке М:
| |
|
(6) |
|
Из формул (1) и (2) следует, что в ортогональной системе координат квадрат дифференциала длины дуги произвольной кривой может быть представлен в виде
| |
|
(7) |
|
| |
|
(8) |
|
Если фиксировать две координаты из набора , то равенство (7) приводит к следующей формуле для коэффициентов Ламе:
| |
|
(9) |
|
В результате мы получаем другой спосов вычисления коэффициентов Ламе , в соответствии с которым достаточно записать отношение длины дуги бесконечно малого элемента координатной -линии к дифференциалу координаты . Например, в цилиндрической системе координатными ρ- и z-линиями являются полупрямая и прямая соответственно, что влечет  . Поскольку координатной  -линией является окружность радиуса ρ, то  и 
Элемент объема в криволинейных координатах определяется формулой
Тогда в цилиндрической системе координат
В сферической системе координат
|
