Криволинейные координаты
Координаты представляют собой величины, определяющие положение какого-либо элемента (например, точки) на плоскости, в пространстве или на ином многообразии. Необходимое число таких величин определяется размерностью пространства. Координаты вектора называют его компонентами.
Говорят, что в трехмерном пространстве задана система координат  , если каждой точке M этого пространства поставлен во взаимно однозначное соответствие набор чисел  . (Различным тройкам чисел соответствуют различные точки пространства). В качестве таких чисел могут выступать декартовы координаты, цилиндрические координаты, сферические координаты и так далее. В общем случае числа называются криволинейными координатами точки М.
Например, в декартовой системе координат набор чисел образован проекциями точки M на три взаимно перпендикулярные оси 0x, 0y и 0z. Декартовы координаты точки обозначаются символами x, y и z.
Рис. 1. Декартовы координаты точки M.
Линия, вдоль которой изменяется только координата  , а остальные координаты остаются неизменными, называется координатной -линией.
Аналогичным образом определяются координатные  и  -линии.
Рис. 2. Координатные линии двухмерной системы криволинейных координат.
Если координатные линии, проходящие через любую точку М пространства, пересекаются под прямым углом, то система координат называется ортогональной. (Напомним, что под углом между линиями в некоторой точке понимается угол между касательными к линиям в этой точке). В частности, декартова, цилиндрическая и сферическая системы координат являются ортогональными .
Единичный касательный вектор к координатной -линии в точке М, направленный в сторону возрастания координаты , называется единичным ортом  в точке М.
Аналогично определяются единичные орты  и  .
Если система координат ортогональна, то в любой точке пространства векторы  попарно ортогональны.
Для ортогональной системы векторов координатных направлений квадрат дифференциала длины дуги кривой представляет собой скалярный квадрат вектора  :
 – норма (длина) вектора  .
|