Проекция ротора векторного поля A в точке на направление нормали к поверхности, натянутой на контур ΔL, определяется формулой
 ,
где – циркуляция вектора A вдоль контура ΔL; ΔS – площадь области, ограниченной этим контуром.
Теорема. В прямоугольной системе координат ротор вектора A можно представить в виде
где Ax, Ay и Az – координаты вектора A .
Доказательство. Выберем в качестве контура интегрирования ΔL границу бесконечно малого прямоугольника, расположенного в плоскости, параллельной координатной плоскости x0y (как это показано на рисунке 1).
Рис. 1. Контур интегрирования Δ L представляет собой прямоугольник, центром которого является точка  .
Площадь ΔS такого прямоугольника равна Δx · Δy, а направление его нормали совпадает с положительным направлением оси z.
Рис. 2. Контур интегрирования.
Следовательно, отношение циркуляции к площади ΔS при стягивании контура в точку дает z-компоненту ротора.
Представим циркуляцию векторного поля A в виде суммы интегралов:
 .
Учитывая малость сторон прямоугольника, функции Ax и Ay можно заменить их средними значениями на соответствующих отрезках. Заметим, однако, что значение проекции Ax на отрезке DC отличается от соответствующего значения на отрезке AB на величину .
Тогда
 .
Аналогично, разность значений Ay на отрезках BC и AD составляет . Следовательно,
 .
Таким образом,
 .
Принимая во внимание предельное соотношение
 ,
приходим к формуле
 .
Выражения для других координат ротора могут быть получены с помощью циклической замены переменных :
Представление ротора в терминах оператора набла.
Рассмотрим векторное произведение оператора и векторной функции :
Преобразуем это выражение, применяя теорему о разложении определителя по элементам строки. (Напомним, что операторы дифференцирования должны всегда располагаться слева от функций, на которые они действуют.)
Полученный результат совпадает с выражением для ротора векторного поля A. Следовательно,
|