Конев В.В.  Скалярные и векторные поля

| Словарь | Калькулятор | Тесты | Задачи и упражнения |
| Скалярные и векторные поля. Градиент | Циркуляция. Поток. Дивергенция |
Вычисление ротора в прямоугольной системе координат
      Проекция ротора векторного поля  A  в точке на направление нормали к поверхности, натянутой на контур  ΔL, определяется формулой
,
где    – циркуляция вектора  A  вдоль контура  ΔL;  ΔS  – площадь области, ограниченной этим контуром.
Теорема. В прямоугольной системе координат ротор вектора  A  можно представить в виде

где  Ax,  Ay  и  Az – координаты вектора  A .
Доказательство. Выберем в качестве контура интегрирования  ΔL  границу бесконечно малого прямоугольника, расположенного в плоскости, параллельной координатной плоскости  x0y  (как это показано на рисунке 1).

Рис. 1. Контур интегрирования  ΔL  представляет собой прямоугольник, центром которого является точка .
     Площадь  ΔS  такого прямоугольника равна  Δx · Δy, а направление его нормали совпадает с положительным направлением оси  z.

Рис. 2. Контур интегрирования.
     Следовательно, отношение циркуляции    к площади  ΔS  при стягивании контура в точку дает  z-компоненту ротора.
     Представим циркуляцию векторного поля  A  в виде суммы интегралов:

.
Учитывая малость сторон прямоугольника, функции  Ax  и  Ay  можно заменить их средними значениями на соответствующих отрезках. Заметим, однако, что значение проекции  Ax  на отрезке  DC  отличается от соответствующего значения на отрезке  AB  на величину  .
      Тогда
.
      Аналогично, разность значений  Ay  на отрезках  BC  и  AD  составляет  . Следовательно,
.
      Таким образом,
.
      Принимая во внимание предельное соотношение
,
приходим к формуле
.
      Выражения для других координат ротора могут быть получены с помощью циклической замены переменных :
Представление ротора в терминах оператора набла.
Рассмотрим векторное произведение оператора и векторной функции :

      Преобразуем это выражение, применяя теорему о разложении определителя по элементам строки. (Напомним, что операторы дифференцирования должны всегда располагаться слева от функций, на которые они действуют.)
Полученный результат совпадает с выражением для ротора векторного поля  A. Следовательно,