Конев В.В.   Неопределенные интегралы

| Разделы курса | Примеры | Калькулятор |      
 
| Пределы | Дифференцирование | Определенные интегралы | Несобственные интегралы |
Замена переменной
 
    Пусть функция F(x) является первообразной функции f(x). Это означает, что  . Однако первый дифференциал функции сохраняет свою форму вне зависимости от того, является ли  x  независимой переменной или же функцией некоторой переменной. Поэтому равенство
остается неизменным при замене переменной x произвольной дифференцируемой функцией u(t):
    В случае удачно выполненной замены переменной подынтегральное выражение может оказаться более простым для интегрирования. Например, интеграл
заменой переменной преобразуется к табличному виду
    Учитывая, что получаем

        Если произвольным образом задать функцию, то в подавляющем большинстве случаев интеграл от такой функции будет неберущимся - в том смысле, что не существует какой-либо конечной комбинации элементарных функций, производная от которой равнялась бы этой функции.
      Некоторым таким неберущимся интегралам присваивают персональные имена и называют их специальными функциями. Из соображений удобства подстановки можно подразделить на два типа: 1) ;  2)  .
      В обоих случаях речь идет о замене переменной, а различие заключается только в технике реализации этой замены.
  1. Подстановка    применяется для преобразования подынтегрального выражения, например, в интегралах вида
      .  (1)  
    Учитывая равенство  , получаем более простой интеграл
       (2)  
    - по крайней мере, судя по его внешнему виду.


  2. Подстановка  x = u(t)  используется для преобразования интеграла    к другому виду:

      .  (3)  

    Возможно, что интеграл в правой части этого равенства окажется более простым, чем исходный. Иначе следует подумать о других подстановках или же применить другой метод интегрирования.
      Умение применять "хорошие" подстановки совершенствуется по мере развития навыков вычисления интегралов. Однако во многих случаях разумная замена переменной бывает просто очевидной. В качестве примера проанализируем интеграл
   (4)  
под знаком которого содержится обратная тригонометрическая функция и одновременно – иррациональное выражение. В подобных случаях, как правило, возможны всего два варианта: либо интеграл вычисляется элементарно, либо является неберущимся. Среди табличных интегралов нет ни одного, содержащего арксинус (к тому же еще и в знаменателе). Уже этого обстоятельства достаточно для того, чтобы испытать подстановку , которая влечет    и, следовательно,

      Подстановка была вынужденной, но оказалась удачной: интеграл приведен к табличному виду. Все оказалось внутренне согласованным – нужный радикал в нужном месте в комбинации с нужной функцией. Достаточно, например, заменить единицу под знаком корня на любое другое число или же изменить степень корня, чтобы превратить интеграл в не берущийся. Так, любой из нижеприведенных интегралов является неберущимся:




      Обсудим другой прием, позволяющий непосредственным образом выйти на разумную подстановку. Обратимся вновь к интегралу (4) и представим подынтегральное выражение в виде

      Теперь переменная  x  входит только под знак арксинуса и последующие действмя представляются вполне очевидными. В таких случаях говорят, что мы "подвели множитель под знак дифференциала".

      Другие примеры: