Конев В.В.   Неопределенные интегралы

| Разделы курса | Примеры | Калькулятор |      
 
| Пределы | Дифференцирование | Определенные интегралы | Несобственные интегралы |
Занимательные упражнения
 
    Как правило, один и тот же интеграл можно вычислить с помощью различного рода подстановок. Например, интеграл    приводится к табличному виду подстановкой  x = at :

Если же выполнить подстановку  , то рассматриваемый интеграл преобразуется к предельно простому виду:
.
Учитывая, что получаем

        Рассмотрим табличный интеграл
   (1)  
      Заменив переменную x в обеих частях этого равенства произвольной дифференцируемой функцией u(t), получим тот же интеграл в обобщенном виде:
   (2)  
      Пусть, например, Тогда
   (3)  

      Аналогично,
   (4)  
   (5)  
      Подобные преобразования применимы и к другим интегралам. Пусть, например, исходным интегралом является
   (6)  
      Тогда
   (7)  
   (8)  
   (9)  

      Взяв за основу простые интегралы (с известными ответами) и преобразовав их в “сложные”, мы окольным путем вычислили эти “сложные” интегралы.
      Можно интерпретировать наши действия и как составление задач на интегрирование – тем более, что в реальности это примерно так и происходит. Нам осталось только воспользоваться какой-нибудь фразой типа “Вычислить методом замены переменной следующие интегралы”. Сами же интегралы у нас уже имеются: и т.д.

      Такой подход к составлению задач обладает целым рядом преимуществ:
  • Ответ известен заранее.
  • Алгоритм решения проблемы известен заранее.
  • Простота искомого результата гарантирована.
Сходные "занимательные упражнения" могут использоваться при подготовке сборников задач и упражнений. Поэтому представляется разумным начать изучение методов интегрирования именно с составления задач, процедура решения которых представляет собой цепочку обратных преобразований. Иначе говоря, исходные данные и результат меняются ролями. Кроме того, умение составлять задачи формирует навыки их решения.