Конев В.В.   Неопределенные интегралы

| Разделы курса | Примеры | Калькулятор |      
 
| Пределы | Дифференцирование | Определенные интегралы | Несобственные интегралы |
Свойства неопределенных интегралов
 
    Чтобы проверить справедливость какого-либо свойства неопределенных интегралов, достаточно продифференцировать предполагаемый результат интегрирования и сравнить полученную функцию с подынтегральной.

    Можно также использовать определение первообразной функции , представленное в виде  .
        Напомним, что по определению
 
. 		 (1)  

      Отсюда вытекают следующие свойства.
  1. Интегрирование и дифференцирование являются взаимно обратными операциями:
       (2)  
       (3)  
       (4)  

  2. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:
       (5)  
    Действительно, и, следовательно, функция   является первообразной для .


  3. Если функции и интегрируемы на некотором промежутке, то на этом промежутке интегрируема и их сумма (разность). При этом интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов:
       (6)  
    Для доказательства достаточно убедиться в том, что выражение в правой части этого равенства является первообразной для функции :


  4. Пусть . Тогда для любой непрерывно дифференцируемой функции выполняется равенство
       (7)  
    Это свойство основывается на инвариантности формы первого дифференциала, согласно которому дифференциал сохраняет свою форму при замене независимой переменной на функцию другой переменной: .

    В случае удачной замены переменной можно получить более простую для интегрирования функцию. Например, выражение преобразуется заменой переменной к виду и, следовательно,