Обобщение таблицы интегралов

Неопределенные интегралы

Задачи, приводящие к понятию первообразной Свойства первообразной Неопределенный интеграл Свойства неопределенных интегралов Таблица простейших интегралов Обобщение таблицы интегралов Методы интегрирования Замена переменной Замена переменной: примеры подстановок Занимательные упражнения Интегрирование по частям

Напоиним, что первый дифференциал функции F(x) сохраняет свою форму вне зависимости от того, является ли x независимой переменной или же функцией некоторой переменной:

Согласно обному из свойств неопределенных интегралов, равенство

(1)

остается неизменным при замене переменной интегрирования некоторой дифференцируемой функцией

(2)

Поэтому каждый табличный интеграл можно рассматировать с более общих позиций, подставляя вместо переменной интегрирования различные функции

. Такой подход позволяет расширить таблицу интегралов и оказывается конструктивным при составлении задач.

Разъясним эти соображения на примере интеграла от степенной функции,

(3)

Выполнив постановку

, получаем новую формулу,

(4)

устанавливающую более общее правило интегрирования.

В качестве функции

может выступать любая функция, имеющая на соответствующем промежутке непрерывную производную.

Пусть, в частности, n = 3 и

. Тогда

(5)

Аналогично, при n = 2 и

имеем

(6)

Подобным образом можно интерпретировать другие интегралы, заменяя переменную интегрирования той или иной функцией.

Конев В.В. Неопределенные интегралы